venerdì 1 settembre 2017

La predestinazione di Durval (Galois secondo Leo Perutz)


Nato a Praga da una agiata famiglia ebreo-tedesca di commercianti, lo scrittore Leo Perutz (1882-1957) aveva studiato calcolo delle probabilità, statistica, matematica attuariale ed economia politica e trovò lavoro come statistico attuariale in una società d'assicurazione di Vienna (come altri austro-ungarici, da Kafka a Svevo, arrivati alla narrativa dalla scrivania). Nella capitale imperiale incominciò a frequentare i circoli e i caffè letterari. Nel 1906 pubblicò il suo primo racconto e, nel marzo 1907, la sua prima novella. Come statistico attuariale, Perutz avrebbe anche lasciato un contributo scientifico degno di nota, studiando i tassi di mortalità, pubblicando articoli su riviste specialistiche e ricavando la cosiddetta formula di equivalenza di Perutz, relazione che sarebbe stata a lungo utilizzata nel settore. Per tutta la vita lo scrittore si interessò di matematica, che ebbe un ruolo chiave nella costruzione della sua opera letteraria. 

Era sulla trentina allo scoppio della Grande Guerra, nel 1914. Arruolato nell'esercito austro-ungarico, partì tra i primi per il fronte orientale, ma fu ferito quasi subito e rimpatriato. Quegli anni videro i suoi primi successi letterari: i racconti brevi Il terzo proiettile, del 1915, e Il miracolo dell’albero di mango, dell’anno successivo, scritto assieme a Paul Frank, dal quale fu tratto anche un film nel 1921. Il successo continuò dopo la guerra, quando pubblicò una serie di racconti e novelle storico-fantastici come Il Marchese di Bolibar (1920), il bestseller Il Maestro del Giudizio Universale (1923), Turlupin (1926) e Tempo di spettri (1928). Giunto all’apice della carriera, la sua esistenza subì un tracollo. La morte della moglie, nel 1928, gli provocò una grave crisi. Si risposò nel 1934, poco prima che l’Anschluss dell’Austria alla Germania nazista lo costringesse a una vita d’esilio. Nel 1938 trovò rifugio in Palestina, dovendo ricominciare tutto daccapo, a disagio in un ambiente di cui non comprendeva la lingua e, da laico non praticante, le idee. Dopo la guerra tornò in Austria nel 1950, ma il pubblico sembrò essersi dimenticato di lui. Nel 1953 pubblicò la novella di ambientazione praghese Di notte sotto il ponte di pietra, mentre la sua ultima opera, Il Giuda di Leonardo, uscì postuma nel 1959, due anni dopo la sua morte avvenuta a Bad Ischl nel 1957. 

Trascurato dalla critica per decenni, ci fu chi lo considerò uno scrittore di avventure bizzarre, un po’ Salgari un po’ Balzac. In Italia, come fece notare Oreste Del Buono, Ladislao Mittner nella prima edizione della sua Storia della letteratura tedesca non lo citava nemmeno nell'indice dei nomi. Fu riscoperto negli anni ’70 del Novecento, quando Borges curò la pubblicazione di alcune sue opere in Argentina e, da noi, incominciarono le traduzioni uscite presso Adelphi. Corrado Augias ha scritto che “Una delle ragioni per le quali Perutz è stato trascurato potrebbe nascondersi proprio nella difficoltà di capire che razza di scrittore fosse, cioè di dare ai suoi romanzi una collocazione sicura all' interno d'un genere riconoscibile”. Né giallista, né scrittore di noir, né troppo realista né troppo fantastico, secondo Augias 
“Leo Perutz sembra, in conclusione, un vero scrittore d'avventure, uno di quei narratori da feuilleton nei quali questi vari generi si ritrovano e s'intrecciano e dove pagine di alta scrittura si alternano ad altre più di maniera. Un narratore, insomma, capace di costruire con immensa abilità d'artigiano e alta resa drammatica, una storia intorno a dei personaggi e a una trama abilmente calcolata. Uno degli elementi comuni a tutti i suoi romanzi, è il ruolo giocato dal destino sullo sviluppo dei fatti e la vita dei protagonisti. Il nocciolo dei suoi racconti gira attorno a un uomo prigioniero d'una ossessione, cioè un fanatico, col quale il destino si diverte a giocare un po', prima d'assestargli il colpo conclusivo”. 
Proprio questo è il tema dominante di Il giorno senza sera (Der Tag ohne Abend), un racconto breve pubblicato nel 1930 nella raccolta Signore, abbi pietà di me (Herr, erbarme dich meiner). Secondo i diari di Perutz, egli scrisse questa storia in preda a una sorta di “furor” nell’arco di cinque giorni nel novembre 1924. Questo estro (che ricorda il Furor mathematicus che dà il titolo a una raccolta di Leonardo Sinisgalli del 1944) si riflette nell’atteggiamento del protagonista, Georges Durval, affetto da una vera e propria esplosione di creatività matematica, evidentemente ispirato alla biografia degli ultimi mesi di vita di Évariste Galois. Perutz non parla direttamente del matematico francese, collocando le vicende nel 1912 e spostandole da Parigi a Vienna, ma, anche se Durval non è affatto un rivoluzionario o un matematico “per vocazione”, il nucleo della storia è evidente a chi è familiare con la storia della matematica e con la biografia di Galois. 

Il riferimento a Galois si accompagna già dal titolo a un'altra significativa circostanza: gli scritti di Agostino d’Ippona. “Il giorno senza sera” è il dies sine vespera che si trova nelle Confessioni (XIII, 36, 51) e che conferisce un senso profondamente filosofico e teologico alla storia. Ecco il passo: 
“Ma il settimo giorno è senza sera e non ha tramonto. L'hai santificato per farlo durare eternamente. Il riposo che prendesti al settimo giorno, dopo compiute le tue opere assai buone, benché niente turbasse la tua quiete, è una predizione che ci fa l'oracolo del tuo Libro: noi pure, dopo compiute le nostre opere, buone assai per tua generosità, nel sabato della vita eterna riposeremo in te”. 

Il racconto di Perutz trasforma i riferimenti alla leggenda di Galois e alla meditazione teologica agostiniana sulla Genesi in una riflessione che parte dal senso (o il nonsenso) della storia controfattuale ("che cosa sarebbe successo se...") e termina stabilendo i confini tra la conoscenza e creazione umana e quella divina. Così, la cronaca romanzata, meta-biografica sulla fine di Durval/Galois evolve in una cronaca romanzata, filosofica, sulla condizione umana. 

La struttura dell’opera è articolata in ordine cronologico in sette parti (come i giorni della creazione), che nella prima edizione erano suddivise graficamente da asterischi. La trama è abbastanza semplice: Georges Durval è un dandy dai molti interessi, che pratica in modo dilettantesco e improduttivo, tra i quali gli scacchi, la musica e la matematica. Il suo stile di vita prosegue immutato fino a quando, come dichiara il narratore, “il fato e la predestinazione di Georges Durval si ricordarono di lui”

La svolta avviene la sera del 14 marzo 1912, quando un suo commensale in un ristorante lo insulta per futili motivi e poi lo sfida a duello. Mentre la sfida viene rimandata di alcune settimane, Durval è colto da una “particolare inquietudine” e incomincia a occuparsi sempre più di matematica. I suoi studi matematici presto lo coinvolgono completamente, spezzando i suoi precedenti legami con la società. 

L’ossessiva attività matematica continua persino quando arrivano i suoi secondi, la mattina del duello, il 25 aprile 1912, e poi durante la preparazione dello stesso (il trasferimento fino alla località prescelta, il tentativo di riconciliazione, le ultime istruzioni). Durval è interessato solo ai suoi problemi matematici. Alla fine i duellanti sparano, e il narratore afferma laconicamente: “Questo giorno non ebbe sera”, rivelando così la morte del protagonista. Nell’ultima parte dell’opera, Perutz fornisce un commento in cui accenna, da un lato, ai fatti successivi (la pubblicazione postuma degli scritti di Durval da parte di una “società accademica”) e, dall’altro lato, a una possibile interpretazione della storia: 
“La storia di Georges Durval doveva essere raccontata. Certe volte ho l’impressione che possa fornire una comprensione degli eventi del mondo. Si può discutere se i grandi della scienza, dell’arte o della letteratura (…) che morirono giovani avessero potuto aggiungere anche solo una riga alle loro opere, se la morte li avesse risparmiati. Può darsi che il destino chiama solamente coloro che non hanno più niente da dare, che, alla fin fine, sono finiti, vuoti, e consumati”. 
Queste considerazioni sono degne di nota per molti motivi. Il narratore le introduce per interrompere improvvisamente la narrazione, per rivelarsi come il narratore in prima persona e usurpare il lettore della sua propria interpretazione. In effetti, altri racconti di Perutz contengono commenti interpretativi finali, ma in questo caso non c’è semplicemente la rivelazione della morale, e neppure un semplice riferimento all’esemplarità storico-filosofica delle vicende narrate. Piuttosto, attraverso il caso specifico di Durval/Galois, Perutz chiama in causa la pratica degli scenari controfattuali, la domanda che le vite dei “grandi morti giovani” sembrano suscitare. 

Che cosa sarebbe successo se Galois non fosse morto così giovane? Pensieri di questo tipo sono sempre affiorati nella letteratura su Galois che Perutz sfida, invitando a una discussione più approfondita. Liouville, che aveva raccolto e fatto conoscere le opere di Galois, sostenne nel 1846 che se non ci fosse stato quel tragico duello, il giovane matematico avrebbe potuto espandere le scienze matematiche in modi interessanti. Felix Klein era convinto che Galois avrebbe potuto aprire nuove strade che il mondo non poteva neanche immaginare. Entrambi erano convinti della linearità storica e della crescita cumulativa del sapere matematico, che singoli tragici eventi possono rallentare ma non fermare. In questo contesto le domande controfattuali sembrano lecite, anche se nulla aggiungono alla conoscenza storica. 

Più scettico sull’immaginazione controfattuale riguardante la vita non vissuta di Galois fu lo storico della scienza George Sarton che, nella sua biografia del 1921, considerava simili speculazioni totalmente inutili. Piuttosto pensava che l’immortalità del matematico francese risiede proprio nella brevità della sua esistenza terrena. Perutz sembra concordare in parte con Sarton, anche se l’arma narrativa che possiede in più dello storico gli consente una maggior libertà di esprimere le sue idee, che i critici hanno contrassegnato come “una visione fatalistica della storia”, secondo la quale “caso e necessità” coincidono in modi che sembrano assurdi all’osservatore umano. 

In Il giorno senza notte queste idee ricevono una declinazione particolare, collegata sia ai riferimenti biografici a Galois, sia al contesto teologico delle idee agostiniane sulla creazione e la predestinazione. Perutz trae da Agostino non solo il titolo, ma anche la struttura narrativa in sette parti in cui si articola il racconto. 

Ciò che il narratore identifica come l’intervento del destino e la “predestinazione” di Georges Durval è quanto il protagonista stesso prova come una spinta interna di cui si ssente completamente succube. Dopo che il suo interesse per i problemi matematici è stato risvegliato, egli sperimenta eccitazione e una “particolare inquietudine” la cui origine non risiede nei suoi timori sull’incipiente duello. Egli si sente come se fosse eccitato da un “demone” (“la fureur des Mathématiques le domine”, come ebbe a dire il professore di Galois) e trova pace e temporaneo conforto solamente nell’attività matematica. La matematica lo aveva interessato anche in precedenza e talvolta aveva varcato i confini della “matematica superiore” pensando, come ci informa il narratore, “alla rettificazione di famiglie di curve isotermiche” attraverso “l’espansione del teorema di Picard”. Contrariamente alla maggior parte dei biografi di Galois, Perutz sembra essere indifferente alle idee politiche del protagonista. Durval è dominato dal suo furor mathematicus, il solo interesse cui si dedica prima del duello: 
“Il suo momento era la sera. Una profonda lucidità lo coglieva tutte le sere alla luce della lampada, portandogli la percezione di collegamenti nascosti. In quei momenti lavorava con quieta maestria, gli occhi sullo scopo”. 

La descrizione di Perutz della creatività matematica poco si discosta dal diffuso stereotipo del matematico socialmente isolato, concentrato per intero sul suo lavoro, che scorda anche la situazione di pericolo in cui si trova. Contemporaneamente, Perutz consente al Durval di “maturare”, con una chiara eco dell’idea agostiniana di una pace interiore (“nel sabato della vita eterna riposeremo in te”) raggiunta attraverso l’esercizio contemplativo e intellettuale dopo una giovinezza sprecata negli eccessi. Per Durval, dopo essere stato sfidato a duello, l’avventura che aveva in precedenza cercato nella vita sociale sembra aver perso ogni traccia di fermento, soppiantata dall’avventura spirituale che trova nella matematica, nel regno “dei punti singolari” delle curve di Cayley e della “teoria delle equazioni differenziali”

Durval raggiunge il suo “scopo”. Lavora sui suoi problemi matematici letteralmente fino al suo ultimo respiro: poco prima di partire per il duello, butta giù “formule algebriche” sul retro di uno “scontrino di lavanderia”, approfitta di una fermata della carrozza per scrivere “un lungo sviluppo in serie sul tavolo di marmo” di un locale, e chiede persino al testimone “un pezzettino di carta” sul quale spera di scarabocchiare qualche idea dell’ultimo minuto. Il riferimento alle leggende che circondano l’ultima notte di Galois è inequivocabile. La descrizione di Perutz non è inferiore in drammaticità, in quanto Durval non smette mai di far calcoli. La narrazione parallela degli eventi del duello e dei pensieri matematici, entrambi sempre più concitati e prossimi alla conclusione, raggiunge il suo climax: 
“I secondi misurarono la distanza. Indifferente a quanto stava accadendo attorno a lui, Georges Durval stava presso la parete di legno che delimitava l’area del duello e faceva calcoli. Il secondo aveva caricato le pistole… In quel momento Georges Durval si girò. Con il pezzo di carta ancora in mano, camminò verso il Capitano Drescovich [uno dei suoi padrini]. Il suo viso mostrava pace e completa indifferenza. Aveva portato a termine il suo lavoro”. 

Con questo gesto Durval conferma dal proprio punto di vista la teoria del narratore che segue immediatamente: “il destino chiama solamente coloro che non hanno più niente da dare, che, alla fin fine, sono finiti, vuoti, e consumati”. Durval aveva completato il percorso assegnatoli dal destino attraverso la soluzione del suo problema matematico, così che la pace e l’indifferenza che prova nonostante l’incombente duello, che contrastano con il precedente disordine della sua vita e il furore matematico, si possono pienamente giustificare con il completamento della sua creazione. La sua progressiva rinuncia agli interessi mondani in favore della contemplazione matematica trova qui il suo definitivo epilogo. Ciò nonostante, la catena di pensieri persiste nella sua testa. Appena dopo aver raggiunto la soluzione, inizia a pensare a una riformulazione più elegante della sua idea e pensa di rifletterci la sera: 
“La formula può essere facilmente suddivisa in una parte reale e una immaginaria, disse Durval a se stesso. Ci deve essere un altro tipo di soluzione, più elegante. Ad ogni modo, stasera, quando…” 
Due spari interrompono questi pensieri e il narratore smentisce il suo eroe caduto: “Questo giorno non ebbe sera”

Durval ha completato il cammino a cui era predestinato, tuttavia la sua opera creativa rimane incompleta e, in un certo senso, non può essere completata. In effetti egli ha dato solo un piccolo e incompleto contributo al complesso del sapere matematico, che progredisce con il tempo e nel tempo e rimane tutt’altro che finito e completabile. Durval lo comprende nel momento stesso in cui giunge la morte: ci deve essere ancora “un altro tipo di soluzione, più elegante”. Perutz sottolinea l’impressione di incompletezza con un ultimo cenno a quanto Durval lascia dietro di sé. I curatori della pubblicazione del suo archivio non potranno mai ammirare la sua soluzione completa: 

“Quando la sua opera sarà disponibile, raccolta in 10 volumi, anche allora rimarrà un incompiuto. Il suo lavoro finale non sarà mai trovato. Esso è distribuito tra il retro di uno scontrino di lavanderia, il tavolo di marmo di un caffè e un foglietto di taccuino, disperso nel vento”.




Albrecht, A. "The Day Without Evening: Leo Perutz, Evariste Galois, and Augustine,"
Journal of Humanistic Mathematics, Volume 2, Issue 1 (January 2012), pages 2-21.
DOI: 10.5642/jhummath.201201.03.

martedì 29 agosto 2017

La Grande Muraglia di Kafka (e Cantor)


"Durante la costruzione della muraglia cinese" (Beim Bau der chinesischen Mauer) è una raccolta di racconti postumi di Franz Kafka il cui titolo deriva da uno di loro, così come sono stati editi dall’amico Max Brod nel 1931. In Italia ha avuto tre edizioni: Racconti, a cura di Ervino Pocar, I Meridiani Mondadori, Milano 1970; Schizzi, parabole, aforismi, a cura di Giuliano Baioni, Mursia, Milano 1983; Il silenzio delle sirene. Scritti e frammenti postumi 1917–24, a cura di Andreina Lavagetto, Feltrinelli, Milano 1994.

Il racconto che dà il titolo alla raccolta fu scritto nel 1917, e, purtroppo, non è concluso. Esso inizia con la descrizione delle strane modalità di costruzione del gigantesco manufatto, delle quali la voce narrante azzarda alcune spiegazioni. Ecco l’incipit, nella traduzione che ho tratto dalla rete.
La muraglia cinese è stata terminata nel suo cantiere più settentrionale. La costruzione fu condotta da sud-est e da sud-ovest, e qui ebbe luogo l’unificazione. A questo sistema di frazionamento ci si attenne in piccolo anche nell’ambito dei due grandi eserciti di operai, l’esercito dell’est e quello dell’ovest. Avvenne così, vennero formati gruppi di circa venti operai i quali avevano da erigere una frazione di muraglia della lunghezza di circa cinquecento metri, incontro a loro un gruppo adiacente edificava poi una muraglia della stessa lunghezza. Dopo però che l’unificazione era effettuata, la costruzione, al termine di questi circa mille metri, non veniva proseguita, anzi, i gruppi di lavoro erano inviati in tutt’altre regioni a edificare la muraglia. Naturalmente risultarono in questo modo molte grosse lacune, che soltanto poco a poco, lentamente, vennero colmate, parecchie addirittura soltanto dopo che si era proclamato il completamento della costruzione della muraglia. Anzi, ci devono essere lacune che proprio non sono state chiuse, secondo molti esse sono molto più estese delle frazioni costruite, un’affermazione del resto che appartiene forse solo alle numerose leggende che sono sorte intorno alla costruzione e che non sono verificabili da parte delle singole persone, almeno, non con i loro occhi e con il loro metro, in conseguenza dell’estensione della costruzione. Ora, si crederebbe a priori che sarebbe stato in ogni senso più vantaggioso costruire in modo continuo o almeno in modo continuo entro le due frazioni principali. La muraglia fu sì pensata, come viene in genere divulgato, ed è noto, con scopo di difesa dai popoli del nord. Come poteva tuttavia difendere, una muraglia discontinua? Di più, una tale muraglia poteva non soltanto non difendere, la stessa costruzione è costantemente in pericolo. Queste frazioni di muraglia abbandonate possono anzi sempre di nuovo esser distrutte con facilità dai nomadi, tanto più che costoro, una volta messi in stato di angoscia dalla costruzione della muraglia, ad una velocità misteriosa, come cavallette, cambiavano d’insediamento, e per questa ragione forse possedevano una visione d’insieme dell’avanzamento della costruzione migliore di quella che avevamo noi stessi costruttori. Ciò nonostante la costruzione non poteva certo esser condotta altrimenti che come è avvenuto. 

In un articolo comparso recentemente sul Journal of Humanistic Mathematics, Kevin P. Knudson, matematico e divulgatore dell’Università della Florida (1) fa notare come la costruzione della Muraglia nel racconto di Kafka proceda più o meno per iterazioni successive in modo contrario a quello con cui si costruisce l’insieme di Cantor. Si tratta quasi certamente di una scelta narrativa non intenzionale da parte del grande autore praghese, ma indica come avesse ragione Jorge Luis Borges quando scrisse che “Due idee – o piuttosto due ossessioni – pervadono l’opera di Franz Kafka. La prima è la subordinazione, la seconda è l’infinito” (e si sa quanto l’argentino parlasse anche di sé).

Trovo affascinante questa idea di Knudson, e mi piace pensare al fatto che la più grande costruzione dell’umanità possa essere pensata come nata a partire da una polvere (di Cantor, vabbè).

(1) Knudson, K. P. «Franz and Georg: Cantor’s Mathematics of the Infinite in the Work of Kafka,» Journal of Humanistic Mathematics, Volume 7 Issue 1 (January 2017), pages 147–154. DOI: 10.5642/jhummath.201701.12 . Available at: http://scholarship.claremont.edu/jhm/vol7/iss1/12

giovedì 27 luglio 2017

Semplicità della matematica


Esiste un’opinione molto diffusa secondo la quale la matematica è la scienza più difficile, mentre in realtà è la più semplice di tutte. La causa di questo paradosso sta nel fatto che, proprio per la loro semplicità, i ragionamenti matematici equivoci si vedono subito. In una complessa questione di politica o arte, ci sono tanti fattori in gioco, sconosciuti o non evidenti, che è molto difficile distinguere il vero dal falso. Di conseguenza qualsiasi idiota si crede in grado di discutere di politica o arte - e in realtà lo fa - mentre guarda la matematica da una rispettosa distanza.


Da Ernesto Sábato, Uno y el Universo (1945), una delle letture più interessanti in cui mi sono imbattuto in questi giorni
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martedì 4 luglio 2017

Gli indivisibili di Cavalieri


Jorge Luis Borges, ossessionato dall’idea di infinito, nella terza nota a La Biblioteca di Babele, in Finzioni (1944), fa questa considerazione, attribuendola come suo solito a un autore inventato:
“Letizia Alvarez de Toledo ha osservato che la vasta Biblioteca è inutile; a rigore, basterebbe un solo volume, di formato comune, stampato in corpo nove o in corpo dieci, e composto d'un numero infinito di fogli infinitamente sottili. (Cavalieri, al principio del secolo XVII, affermò che ogni corpo solido è la sovrapposizione d'un numero infinito di piani). Il maneggio di questo serico vademecum non sarebbe comodo: ogni foglio apparente si sdoppierebbe in altri simili; l'inconcepibile foglio centrale non avrebbe rovescio”. 
 Il riferimento dello scrittore argentino è al cosiddetto Principio di Cavalieri, anticipato dalle idee di Oresme, Keplero e Galileo ed espresso dal matematico milanese Bonaventura Cavalieri, che afferma che un’area può essere considerata come formata da un numero indefinito di segmenti paralleli equidistanti e sottilissimi (“indivisibili”) e che allo stesso modo un volume può essere considerato come composto da un numero indefinito di aree piane parallele. Cavalieri si rese conto che il numero di indivisibili che costituiscono un’area o un volume deve essere indefinitamente grande, tuttavia non cercò di approfondire questo fatto (che, come vedremo, gli costò feroci critiche), limitandosi a una serie di suggestive metafore: una retta è composta da punti come un rosario da grani; una superficie è composta da rette come una stoffa da fili e un volume è composto da aree piane come un libro da pagine. 

Ma chi era Cavalieri? Nato a Milano nel 1598 e battezzato Francesco, Cavalieri assunse il nome del padre, Bonaventura, quando nel 1615 entrò nei Gesuati, un ordine secolare che sarebbe stato soppresso nel 1668 da Clemente IX sia per carenza di vocazioni, sia perché i suoi beni servivano per pagare i Veneziani nella guerra contro i Turchi. Cavalieri studiò teologia nel convento di San Gerolamo a Milano e poi geometria all’Università di Pisa, dove fu allievo di padre Benedetto Castelli, collaboratore di Galileo, che si accorse della sua forte inclinazione per la matematica.

Terminati gli studi, nel 1619 si candidò alla cattedra di matematica a Bologna, ma fu considerato troppo giovane per l’incarico. Analoghi rifiuti gli giunsero da diversi altri atenei, tra i quali quelli di Pisa e di Roma, al punto che si chiedeva se non ci fosse una prevenzione nei suoi confronti a causa dell’appartenenza ai Gesuati, congregazione molto chiacchierata e malvista dalle gerarchie romane. Nel 1621 conobbe Galileo, del quale volle subito dichiararsi allievo. L’incontro era stato propiziato da Federico Borromeo (il cardinal Federigo di manzoniana memoria), che conosceva e stimava Cavalieri al punto da farlo diacono e suo assistente. Iniziò allora una lunga corrispondenza con lo scienziato pisano, durata per circa vent’anni. Fu in questo periodo che ideò il metodo degli indivisibili per il calcolo di aree e volumi, al quale è associato il suo nome, che anticipa il calcolo integrale e ricorda il metodo di esaustione degli antichi. In una lettera del 1621 a Galileo scriveva:
“Vado dimostrando alcune proposizioni d'Archimede diversamente da lui, et in particolare la quadratura della parabola, divers’ancora da quello di V.S.” 
Galileo lo incoraggiò a pubblicare in un libro le sue idee, dichiaratamente influenzate da Keplero, che, nella Stereometria doliorum vinariorum (1615) aveva calcolato aree e volumi suddividendo i corpi in infinite parti infinitesime, giungendo a risolvere il problema della quadratura dell’ellisse. Cavalieri sviluppò il suo metodo negli anni successivi. Nel novembre del 1627, in un’altra lettera a Galileo, sosteneva di essere in procinto di pubblicare un libro sull’argomento, 
“ho perfettionato un'opera di geometria…. Et è cosa nova, non solo quanto alle cose trovate, ma anco al modo di trovarle, da niuno adoperate insin'ora, ch'io mi sappi”. 
Finalmente ottenuta nel 1629 la sospirata cattedra di matematica a Bologna, ritardò la pubblicazione della sua opera a causa di ripensamenti e riscritture, ma soprattutto per rispetto verso Galileo, che Cavalieri pensava dovesse pubblicare un’opera sugli infinitesimi. In realtà il pisano era interessato solo al risvolto fisico del problema, la struttura atomica della materia, e non intendeva approfondire l’aspetto matematico. Finalmente, nel 1635, diede alle stampe Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota (Un certo metodo per lo sviluppo di una nuova geometria dei continui indivisibili). Nel testo Cavalieri parla a proposito delle superfici come formate dalla “totalità di tutte le linee” e dei solidi come formati dalla “totalità di tutti i piani”, ciò gli consente di introdurre il suo principio, con il quale giunge a elaborare un nuovo strumento per la determinazione di aree e volumi. Nella sua prima è più semplice formulazione, il principio afferma che: 
“se due solidi hanno uguale altezza e se le sezioni tagliate da piani paralleli e ugualmente distanti da queste stanno sempre in un dato rapporto, anche i volumi dei solidi stanno in questo rapporto”.
Leggiamo dalle sue stesse parole, tratte dalla Geometria Indivisibilibus, come egli sia giunto alla formulazione di tale principio. Così scrive nelle pagine introduttive: 
“Meditando dunque un giorno sulla generazione dei solidi che sono originati da una rivoluzione intorno ad un asse e confrontando il rapporto delle figure piane generatrici con quello dei solidi generati mi meravigliavo moltissimo del fatto che le figure generate si discostassero a tal punto dalla condizione dei propri genitori da mostrare di seguire un rapporto completamente diverso dal loro. Per esempio un cilindro, che sia ottenuto insieme ad un cono della stessa base per rotazione attorno a un medesimo asse, è il triplo di esso, anche se nasce per rivoluzione da un parallelogramma doppio del triangolo che genera il cono. [...] 
Avendo dunque più e più volte fermato l'attenzione su tale diversità in moltissime altre figure, mentre prima, raffigurandomi ad esempio un cilindro come l'unione di parallelogrammi indefiniti per numero e il cono con stessa base e stessa altezza come l'unione di triangoli indefiniti per numero passanti tutti per l'asse, ritenevo che ottenuto il mutuo rapporto di dette figure piane dovesse subito venirne fuori anche il rapporto dei solidi da esse generate, risultando invece già chiaramente che il rapporto delle figure piane generatrici non concordava affatto con quello dei solidi generati mi sembrava si dovesse a buon diritto concludere che avrebbe perduto il tempo e la fatica e che avrebbe trebbiato inutile paglia chi si fosse messo a ricercare la misura delle figure con tale metodo. Ma dopo aver considerato la cosa un po' più profondamente pervenni finalmente a questa opinione e precisamente che per la nostra faccenda dovessero prendersi piani non intersecantisi tra di loro, ma paralleli. In questo infatti, investigati moltissimi casi, in tutti trovai perfetta corrispondenza tanto tra il rapporto dei corpi e quello delle loro sezioni piane quanto tra il rapporto dei piani e quello delle loro linee [...]. 
Avendo dunque considerato il cilindro e il cono suddetti secati non più per l'asse ma parallelamente alla base, trovai che hanno rapporto uguale a quello del cilindro al cono quei piani che chiamo nel libro II ``tutti i piani'' del cilindro a ``tutti i piani'' del cono, con riferimento alla base comune [...]. Stimai perciò metodo ottimo per investigare la misura delle figure quello di indagare i rapporti delle linee al posto di quello dei piani e i rapporti dei piani al posto di quello dei solidi per procurarmi subito la misura delle figure stesse. La cosa, ritengo, andò come era nei miei voti, come risulterà chiaro a chi leggerà tutto”. 
Nei primi due libri dell’opera, Cavalieri espone le ”proposizioni lemmatiche” sulle quali si basa il suo metodo, introduce il concetto di “tutte le linee” di una figura piana e di “tutti i piani” di una figura solida e stabilisce che “tutte le linee” di figure piane (e “tutti i piani di figure solide”) sono grandezze che hanno tra loro rapporto, per cui è possibile poter operare con esse. Ai lemmi si aggiungono poi dimostrazioni e corollari riguardanti, rispettivamente, le sezioni cilindriche e coniche (Libro I) e i triangoli, i parallelogrammi e i rettangoli e le figure le solide derivanti dalle loro rotazioni di (Libro II). 



Il Libro III è dedicato al cerchio, all’ellisse e ai solidi da essi generati. Come esempio del metodo degli indivisibili, vediamo come Cavalieri determina l’area racchiusa dall’ellisse. 



Consideriamo un ellisse di asse maggiore 2a ed asse minore 2b e un cerchio che ha come diametro l'asse maggiore dell'ellisse. Ogni retta perpendicolare al diametro intercetta sul cerchio il segmento PQ e sull’ellisse il segmento P’Q’ considerati appunto come indivisibili delle due curve. Il rapporto fra i due segmenti è a/b

Infatti, utilizzando il linguaggio della geometria analitica le equazioni delle curve sono: 

 


Intersecando le due coniche con rette parallele all’asse delle ordinate, di equazione x = k, si ottengono le coordinate e quindi le misure dei due segmenti intercettati: 


il cui rapporto è sempre a/b

Per il principio di Cavalieri, allora, un uguale rapporto deve intercedere fra l'area del cerchio e quella dell'ellisse in quanto il cerchio è la totalità delle linee PQ e l’ellisse la totalità delle linee P’Q’. Indicando con A l'area dell'ellisse avremo: 


quindi: 


Nei libri successivi Cavalieri dimostra i risultati relativi a figure piane e solide originate dalle sezioni coniche e dalle spirali. Nel libro VII, l’ultimo, formula quello che chiamerà “secondo metodo” in cui chiarisce i fondamenti degli indivisibili. Nel teorema I espone la versione definitiva di quello che ancor oggi è noto come "principio di Cavalieri": 

"Figure piane qualsiasi, poste tra le stesse parallele, in cui, condotte linee rette qualunque equidistanti alle parallele in questione, le porzioni così intercettate di una qualsiasi di queste rette siano uguali, sono parimenti uguali tra loro. E figure solide qualsiasi, poste tra gli stessi piani paralleli, in cui, condotti piani qualunque equidistanti a quei piani paralleli, le figure piane di uno qualsiasi dei piani condotti così determinate nei solidi siano uguali, saranno parimenti uguali tra loro. Si chiamino allora tali figure ugualmente analoghe, sia le piane che le solide confrontate tra loro, e rispetto alle linee di riferimento, o i piani paralleli, tra i quali si suppongono poste, se è necessario indicarlo". 

 Questo principio si dimostra facilmente “a posteriori” con gli strumenti del calcolo integrale, perchè equivale a dire che due integrali definiti, tra gli stessi estremi di integrazione, aventi uguali funzioni integrande, sono uguali; o che se due funzioni hanno rapporto costante allora i loro integrali definiti hanno lo stesso rapporto (una costante moltiplicativa si può portare indifferentemente dentro o fuori dal segno di integrazione): se f(x) = kg(x) allora: 


Cavalieri applica il principio per calcolare aree e volumi confrontando le proprietà di due figure (ad esempio le aree di due superfici o i volumi di due solidi) sulla base del rapporto fra gli indivisibili staccati dall'una e dall'altra sopra un medesimo fascio di rette parallele o di piani paralleli. Il metodo gli consente, ad esempio, di verificare la validità di alcuni problemi risolti da Archimede con il metodo di esaustione sul calcolo dei volumi dei solidi (come il volume del cono è 1/3 di quello del cilindro con la stessa base e la stessa altezza). Allo stesso modo tratta l’area compresa fra due curve, considerando le aree come somma delle ordinate, e se le ordinate stanno in un certo rapporto allora anche le aree stanno nello stesso rapporto. 

Cavalieri conosce il metodo di esaustione, ma è convinto della superiorità del metodo degli indivisibili rispetto ad esso: l’esaustione fa uso essenzialmente della dimostrazione per assurdo, mentre il metodo degli indivisibili è un metodo costruttivo per calcolare aree e volumi. 

Un importante risultato ottenuto da Cavalieri, presentato nell’opera Centuria di varii problemi (1639), riguarda l’area sottesa a certe curve algebriche. Nella moderna simbologia dell’analisi, esso corrisponde alla formula: 


che Cavalieri dimostrò per i valori interi di n compresi tra 1 e 9. La dimostrazione è puramente geometrica. Utilizzando metodi algebrici, Newton generalizzerà la formula, estendendola a tutti i valori razionali di n

L’opera di Cavalieri non venne accolta con molto favore dai geometri sostenitori del pensiero e dell’opera di Archimede. In particolare dovette subire le critiche del matematico svizzero Paul Guldin, noto come Guldino, un ebreo convertito poi diventato gesuita, che era stato solidale con padre Orazio Grassi nella polemica contro Galileo sulle comete e arrivò persino ad accusare Cavalieri di plagio nei confronti di Keplero. Come tutti i gesuiti, Guldino si impegnò a screditare i fondamenti della teoria degli infinitesimi, attaccando Cavalieri nel libro De centro gravitatis, trium specierum quantitatis continuæ, pubblicato a Vienna tra il 1635 e il 1641. L’obiezione principale riguardava la natura delle grandezze geometriche continue (linee, superfici, solidi), a proposito delle quali Guldino sostiene l'impossibilità che vengano costruite riunendo grandezze aventi una dimensione in meno:
"che dunque quella superficie sia, e in linguaggio geometrico possa chiamarsi tutte le linee di tale figura, ciò a mio avviso non gli sarà concesso da nessun geometra; mai infatti possono essere chiamate superficie più linee, oppure tutte le linee; giacché la moltitudine delle linee, per quanto grandissima essa sia, non può comporre neppure la più piccola superficie.” 
La tesi di Guldino è che “il continuo è divisibile all'infinito, ma non consta di infinite parti in atto, bensì soltanto in potenza, le quali [parti] non possono mai essere esaurite”. La conclusione di Guldino è che “questa proposizione sulle figure piane non è stata in alcun modo dimostrata in maniera valida”. Il bersaglio delle critiche dei geometri gesuiti è proprio il concetto di vicinanza infinita, che sfugge ad ogni tentativo di definizione geometrica rigorosa (e soprattutto va in direzione contraria al metodo di Esaustione di Archimede). 

In risposta alle critiche, Cavalieri, nel 1647, pubblicò Contro Guldino. Esercitazione terza, inclusa nelle Exercitationes geometricae sex. Così Cavalieri critica alcune contestazioni di Guldino: 
“Infatti in molti passi, sia Archimede, sia molti altri dediti alla Geometria più pura, dimostrano che si possono inscrivere, e circoscrivere ad una figura data altre figure, in modo che la figura circoscritta superi l’inscritta per una grandezza, la quale sia minore di qualsiasi grandezza data del medesimo genere. Concludono dunque che la circoscritta è uguale all’inscritta? Per niente affatto; adoperato invece un altro termine medio, dimostrano che la figura alla quale è stata fatta l’inscrizione e la circoscrizione, è uguale a una certa altra, la quale sia invero minore della circoscritta, maggiore invece della inscritta”. 
La polemica finì per concentrarsi su questioni filosofiche: il metodo di esaustione sostenuto da Guldino è rigoroso, ma scomodo, mentre quello degli indivisibili è di più immediata applicazione pratica, anche se non è ancora sorretto da un adeguato impianto concettuale e formale. Polemicamente, Cavalieri giunse ad affermare persino che “il rigore (...) è affare della filosofia e non della geometria”

Nelle già citate Exercitationes geometricae sex del 1647, Cavalieri, seguendo una via diversa, confrontò non più singoli indivisibili corrispondenti sulle due figure, ma la somma degli indivisibili della prima figura con la somma di quelli della seconda. La teoria degli indivisibili può essere applicata per dimostrare, ad esempio, che l’area di un parallelogramma è il doppio dell’area di ognuno dei triangoli in cui lo suddivide ciascuna delle diagonali. 

Se, nel parallelogramma ABCD si scelgono, sui lati AD e BC, i punti G ed E in modo che GD = BE, allora i segmenti GH ed FE della figura, aventi il secondo estremo sulla diagonale, e paralleli alla base, hanno la stessa lunghezza. Quindi i due triangoli ABD e BCD sono composti da due somme uguali di segmenti a uno a uno corrispondenti, e quindi, secondo il principio degli indivisibili, le loro aree sono uguali. 


Nonostante le critiche, il metodo degli indivisibili si diffuse subito in Italia e in Europa.. Non mancarono ulteriori sviluppi, soprattutto grazie a Torricelli, che con il metodo di Cavalieri riuscì a calcolare il volume del solido iperbolico, suscitando l’ammirazione dei contemporanei e il loro stupore, dato che il problema era ritenuto impossibile. Torricelli ebbe l’accortezza di accostare alla dimostrazione con il metodo degli indivisibili anche quella “con il metodo solito di dimostrazione degli antichi geometri, il quale è bensì più lungo ma non per questo, secondo me, più sicuro”

Lo stesso Torricelli non mancò tuttavia di esprimere perplessità sul metodo di Cavalieri invitando alla prudenza nel suo impiego. In molti frammenti, raccolti sotto il titolo di Contro gl’infiniti, Torricelli presenta diversi ragionamenti fallaci, tranelli in cui si può facilmente cadere facendosi prendere troppo dal fascino degli indivisibili. Torricelli mostra ad esempio una variante scorretta del ragionamento sul parallelogramma,, che conduce ad un risultato erroneo. 


Il triangolo ABD è unione dei segmenti, paralleli ad AD, delimitati dal lato AB e dalla diagonale BD: FG è uno di questi. Analogamente, il triangolo BDC è formato dai segmenti che, come FE, sono paralleli ad AB e sono delimitati dal lato BC e dalla diagonale. Confrontando a due a due i segmenti delle due schiere, come FG e FE, si vede che ad ogni segmento del triangolo ABD ne corrisponde, nel triangolo BDC, uno più lungo. Apparentemente segue che l’area di BDC è maggiore di quella di ABD, il che, naturalmente, è falso. 

Cavalieri ebbe il merito di aver coraggiosamente preso in esame il concetto di infinitesimo e per questo deve essere considerato come uno degli anticipatori del Calculus. Il suo metodo sembrava destinato a un impiego duraturo, tuttavia, ben presto ritenuto laborioso e non sufficientemente rigoroso, venne abbandonato in seguito alla diffusione di nuovi e potenti strumenti di calcolo.

venerdì 16 giugno 2017

Matematica in Italia: luci e ombre


I dati delle rilevazioni OCSE PISA 2015, resi noti lo scorso dicembre, evidenziano un miglioramento delle competenze matematiche dei nostri quindicenni rispetto al quadriennio precedente. L’Italia si colloca allo stesso livello di molti paesi industrializzati, anche se lontana dai vertici rappresentati dai paesi asiatici o dell’Europa del Nord. Eppure il nostro paese vanta prestigiose punte di eccellenza. Ma qual è davvero la situazione? Come sta la matematica in Italia? L'ho chiesto agli addetti ai lavori, che hanno espresso articolate opinioni, in qualche caso polemiche, di chi pratica e vive la matematica nella scuola, nell’università e nella ricerca. Alcune tendenze sono comunque emerse, e di esse bisognerebbe far tesoro. 
Consideriamo la rilevazione PISA-OCSE, che va analizzata senza fermarsi all’aspetto “classifica” come spesso tendono a fare gli organi di informazione. Che cosa ci dicono veramente quei dati? 
Ciro Ciliberto, presidente dell’Unione Matematica Italiana, sottolinea che risultati danno indicazioni parziali e quindi vanno studiati, interpretati e compresi in modo non superficiale. È vero che la nostra scuola, nella sua migliore declinazione, orienta più a un certo tipo di ragionamento teorico che non alla soluzione di problemi ''concreti'' o pseudo tali, il che talvolta ci penalizza, ma, da un recente documento formulato dalla Commissione Italiana per l'Insegnamento della Matematica dell'Unione Matematica Italiana, emerge che i risultati medi dei nostri studenti in Matematica sono in questo rilevamento uguali alla media generale dei Paesi OCSE (490 punti). Inoltre, se confrontiamo i nostri risultati del 2015 con quelli dei rilevamenti precedenti, notiamo che si registra un significativo e costante miglioramento: “una tendenza positiva così prolungata non può che lasciarci soddisfatti e non può essere attribuita al caso”. 

Esiste, più che un problema nazionale, un problema del nostro mezzogiorno: il divario di risultati tra le varie regioni italiane è rilevante: gli studenti del Trentino e dell'Alto Adige si collocano al livello dei migliori colleghi occidentali (516 e 518 punti), ma i giovani campani raggiungono il punteggio medio davvero esiguo di 456 punti. Si tratta di capire se da questo dato si possa dedurre un deficit di competenze matematiche o non piuttosto difetti dovuti a fattori ambientali, ma “un'analisi di questo tipo non si improvvisa, se non si vuole correre il rischio di affidarsi a valutazioni superficiali o peggio a pregiudizi”. Esiste anche un problema di genere: i maschi ottengono in media risultati di 20 punti più alti delle femmine, e questo dato si mantiene pressoché costante negli anni. In effetti esiste nel nostro paese un pregiudizio radicato per il quale la matematica sarebbe disciplina prettamente maschile. 

I risultati PISA-OCSE vanno infine esaminati nella loro interezza: nelle due altre competenze sotto indagine, Lettura e Scienze, i nostri ragazzi restano sotto la media OCSE. Paradossalmente, i nostri studenti paiono più bravi a risolvere problemi che a comprendere un testo di difficoltà studiata per la loro età. 

Più pessimista appare Vincenzo Nesi, professore di Analisi matematica e Preside della Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali a “La Sapienza" di Roma, che ritiene che “il livello culturale degli italiani sia mediamente decresciuto in tutte le discipline, non solo in matematica e quindi la domanda interessante dovrebbe essere se e quanto è decresciuto il livello della conoscenza matematica rispetto alla media delle competenze, altrimenti mischiamo un fattore di sistema (la decrescita di risorse per la scuola) con la specificità della matematica”. Inoltre “Questa decrescita generale si deve in gran parte all'allargamento della fascia più debole. L'eccellenza della Matematica vive di vita propria e non è un indice interessante per rispondere alla domanda. In pratica, il fatto che vi siano, come vi sono, ottimi o eccellenti matematici italiani in giro per il mondo non ha niente a che vedere con il livello medio della scuola italiana”. 
Molti insegnanti di matematica lamentano che i test PISA considerano abilità e competenze diverse da quelle che si privilegiano da noi e non manca chi li contesta apertamente. 
Giovanni Salmeri, Lucia Fellicò, Patrizia Plini e Anna Maria Gennai ritengono che i risultati conseguiti non sono tanto lo specchio di una scarsa cultura matematica, ma di una scarsa attitudine a rispondere a quesiti di quel genere. Il miglioramento registrato si spiega perché da qualche anno nelle scuole si dedica qualche ora ad esercitazioni mirate. Salmeri e Paola Santucci ricordano inoltre il caso della Finlandia, che per anni ha ottenuto ottimi risultati nei test internazionali di matematica e poi ha registrato un allarmato appello dei professori universitari che hanno denunciato di avere studenti capacissimi di compilare schede ma a digiuno di qualsiasi idea matematica. 

Nesi è piuttosto scettico sulla reale attendibilità di test e verifiche scritte: “Un paio di anni fa, fu fatto un sondaggio, limitato ma significativo, secondo il quale circa il 40% dei maturandi e delle maturande sosteneva di aver copiato o la versione di greco, o di latino o il compito di matematica. Credo che il dato fosse attendibile. Con questa cultura è ben difficile che qualunque test nazionale, per quanto ben fatto, possa avere un effetto positivo nell'orientare le scelte degli insegnanti. Molti, direi la maggioranza, lo boicotta apertamente e convintamente, a torto o a ragione non saprei ma direi che una ragione c'è di sicuro. Le riforme vanno prima spiegate e poi compiute. Non semplicemente imposte”. 


Non è raro sentire intellettuali di formazione umanistica o personaggi famosi affermare quasi con vanto di non saper nulla di matematica. Esiste un pregiudizio verso la matematica, una sorta di “diffidenza storica” di origine culturale che contribuisce tuttora alle difficoltà della penetrazione della cultura matematica nella società? 
Roberto Lucchetti, professore di Analisi al Politecnico di Milano, dove è stato il presidente del corso di studi di Ingegneria Matematica, ne ė convinto: “Sì, nonostante anche in questo ci siano miglioramenti, rimane diffusa l'idea che la matematica è molto utile, ma che è meglio che se ne occupino gli altri. A me sembra comunque di osservare che il rispetto nei riguardi dei matematici sia aumentato parecchio. Anche se il matematico rimane personaggio molto singolare”. 

Per Roberto Natalini, Direttore dell'Istituto per le Applicazioni del Calcolo "M. Picone", direttore della storica rivista di divulgazione Archimede e coordinatore del sito MaddMaths!, l'arretratezza tecnologica della nostra industria e la frammentazione del tessuto industriale italiano, sono fattori chiave, molto più di qualsiasi diffidenza ideologica. Così il tessuto produttivo non ha mai avuto la massa critica per porsi il problema di formare una classe di scienziati al passo con i bisogni dell'economia. Viviamo in un tessuto parassitario rispetto alla crescita scientifica, in cui i risultati della scienza sono di solito utilizzati di seconda mano, comprando tecnologia sviluppata altrove (spesso a cui concorrono scienziati italiani). Gli Stati Uniti e i paesi più avanzati hanno sviluppato la loro forte richiesta di scienza sui loro successi militari e industriali. In Italia, invece, l'industria e la pubblica amministrazione sono sempre stati arretrati e poco interessati all'interazione con la ricerca. Ci sono state eccezioni, ovviamente: Volterra, Olivetti, Natta, sono persone in controtendenza. Ma non hanno inciso più di tanto. 

Secondo Giampiero Negri bisogna considerare il carattere peculiare di “scienza teoretica” che la matematica ha assunto nella storia del nostro paese: “In contrapposizione con la valorizzazione delle applicazioni tecniche e del calcolo numerico, che hanno determinato nei paesi anglosassoni una fitta connessione tra la crescita di un sapere matematico trasformatore della società e la sua applicazione come strumento per i “meccanici”, ossia gli ingegneri, in Italia la speculazione ha, generalmente, prevalso nel contesto accademico, determinando un gap sempre più considerevole tra la cultura matematica e le sue applicazioni tecnico-pratiche”. 

Per Ciliberto, quando si parla di ''cultura'' in Italia non si pensa alla matematica, né alle scienze in generale. In altri termini, la ''cultura'' in Italia non è ''scientifica''. In aggiunta, per scienza si pensa sempre e solo a quella, spettacolare, facilmente e alquanto superficialmente divulgabile, di certe trasmissioni televisive che abbondano di buchi neri, onde gravitazionali e neutrini, ma in cui di matematica non si parla mai, senza notare che questi oggetti e concetti sono ben descrivibili solo in termini matematici. E ai matematici di professione difficilmente si dà accesso nei media. A ciò si somma un più recente atteggiamento, molto diffuso tra i politici e da chi detiene il potere economico, di esclusivo apprezzamento per discipline di tipo utilitaristico immediato, che, a fronte di investimenti che comunque nel nostro paese sono esigui, danno risultati economici a breve termine, cosa che difficilmente fa la ricerca scientifica teorica, che spesso richiede decenni, talvolta secoli, per dare frutti tangibili. Altro difetto, legato al precedente, è quello di dare una marcata preferenza alla tecnologia rispetto alla scienza, senza tener conto che non esiste buona tecnologia senza scienza teorica di alto livello. 
Che cosa fa e che cosa può fare la scuola per la diffusione delle competenze matematiche? Sicuramente esistono delle criticità, ma parlare in generale può essere fuorviante. Innanzitutto si hanno approcci e risultati diversi se consideriamo la scuola primaria e le secondarie. Poi i risultati dipendono molto da fattori geografici, economici e sociali, oppure dall’organizzazione del singolo istituto. È un problema di indicazioni nazionali (i programmi di una volta), di insegnanti, di metodi?
Giovanni Salmeri vede due tendenze recenti che militano contro la considerazione della matematica nella scuola e nell’Università. “La prima è l’avversione, evidente nella politica scolastica ma che un poco alla volta si sta infiltrando anche nell’Università, verso ciò che è rigoroso e difficile. L’idea del successo formativo garantito, che pur potrebbe avere un senso accettabile, diventa così la scusa per abbassare il livello finché sia considerato sufficiente quello raggiunto da qualsiasi studente con qualsiasi, anche inesistente, impegno. La matematica è rigorosa e impegnativa, e in questo modo viene uccisa. La seconda tendenza è quella che sottovaluta tutto ciò che non serve immediatamente, considerando ovviamente come punto di riferimento il mondo del lavoro. Evidentemente le scienze pure ne fanno le spese, e la matematica per prima”. Lorenzo Meneghini aggiunge che le difficoltà rimosse da un’applicazione distorta della normativa si ripresentano amplificate nella vita reale, quando si cerca un lavoro. Sembra che la scuola non possa più fare la selezione che faceva nel passato e questo ha causato un progressivo impoverimento del livello medio dell’istruzione italiana. “Gli insegnanti italiani, negli ultimi vent’anni, hanno perso molta considerazione sociale. Bisognerebbe restituire agli insegnanti la possibilità di “pretendere” che i propri studenti studino e siano ben preparati. La matematica richiede molta fatica da parte di studenti e docenti, fatica che oggi si cerca di evitare”. 

Natalini è convinto che “Il fattore sociale e familiare (ed economico) è fondamentale per capire l'efficacia dell'insegnamento. Non c'è paragone, in termini di opportunità, tra chi proviene da una famiglia già istruita e chi no. Ovviamente, la preparazione degli insegnanti può avere un ruolo. Gli insegnanti della scuola primaria sono in media meglio preparati di quelli della secondaria di primo grado, e questo soprattutto per la matematica. Innalzare il livello di questi ultimi, sia chiedendo requisiti maggiori per poter insegnare matematica, sia cercando di attirare qualche insegnante bravo sarebbe cruciale per avvicinare maggiormente i ragazzi alla matematica. Per quanto riguarda la secondaria superiore, oltre a liberare i docenti dal peso di un esame di stato troppo difficile (sic!), andrebbe migliorato il supporto formativo agli insegnanti. Dovrebbe essere il MIUR a gestire una vera e propria formazione permanente del docente. Per quanto riguarda le indicazioni, trovo solo che siano un po' troppo vaste e irrealistiche. Credo che un buon docente dovrebbe puntare a fornire alcuni contenuti di base molto solidi e un po' di curiosità sulla materia, ma non molto di più. Fare l'integrazione per parti, o le equazioni differenziali al liceo non ha molto senso”. 

Susanna Terracini, docente del Dipartimento di Matematica "Giuseppe Peano" dell’Università di Torino, pensa che un problema della scuola contemporanea è che si coprono troppe materie, e troppi argomenti, tutti in modo un po’ superficiale, mentre andrebbe rivalutato e potenziato il ragionamento rigoroso. “In definitiva, si tratta sia un problema di programmi nazionali (troppo estesi) sia un problema di approccio “utilitaristico” alla Matematica (e non solo), che la snatura. Forse la strada è lasciare più scelta ai docenti e diminuire i programmi. Insomma, credo che sia importante che tutto sia saputo da qualcuno e che tutti sappiano bene (poche) cose. Se no diamo ai ragazzi una falsa percezione di cosa significa “sapere". 

Le ultime Indicazioni Nazionali, secondo Anita Biagini, Patrizia Plini e Assunta Chiummariello hanno inserito ulteriori argomenti da trattare e contemporaneamente è cresciuto il numero di studenti per classe. Il tempo è così diventato un motivo di preoccupazione, anche perché si chiede al docente di “recuperare” in corsi di poche ore gli studenti in difficoltà. I docenti, in particolare del liceo scientifico, sono preoccupati per la prova di matematica dell’Esame di Stato, che chiede elevate competenze e abilità e questo porta a un lavoro di preparazione con ritmi elevati”. Giuseppe Casale aggiunge che “Si tratta di scegliere: o si vogliono perseguire certi standard che poi vengano in qualche modo accertati dalla prova d'esame ministeriale oppure si lascia maggiore libertà ai docenti nella preparazione degli alunni”. 

Anche Ciliberto sostiene che “la scuola ha le sue responsabilità ed è anche vero che ci sono grandi differenze di rendimento tra primaria e secondaria dei due gradi. A fronte di tanti docenti molto preparati e motivati, ci sono anche docenti insoddisfatti dal punto di vista economico e/o organizzativo. In alcune realtà problematiche, la disciplina degli allievi non viene curata a sufficienza e dunque risulta difficile insegnare. La formazione iniziale (soddisfacente solo a livello di primaria, per la quale c'è una laurea dedicata) è assai inadeguata: non esistono, anche se previste dalla legge, lauree dedicate alla formazione di docenti della secondaria. La formazione in servizio presenta nel nostro paese ritardi e lacune che vengono colmati solo parzialmente da privati, sulla cui competenza ci sarebbe da indagare e discutere, È invece questo un territorio assai importante da battere: la matematica, contrariamente a quel che molti pensano, non è ferma alle conquiste degli antichi, ma in continua, poderosa espansione ed è necessario che i docenti abbiano la percezione di questo sviluppo per poter dare ai loro allievi la misura di quanto questa sia una scienza vitale, che incide sulle nostre vite quotidiane come mai prima di oggi”. 

Secondo Lucia Caporaso, professore ordinario di Matematica presso l’Università degli Studi Roma Tre, è necessario dedicare piú tempo all'insegnamento della matematica. Non si puó nascondere il fatto che si tratta di una disciplina particolarmente impegnativa, non solo per l'impegno intellettuale che essa comporta, ma per la sua imprescindibile verificabilità: ci vuole tempo, non soltanto per insegnare la materia, ma per abituare lo studente all'importanza della verifica personale; gran parte degli errori dei bambini e ragazzi viene dal non effettuare questo passo, né nella matematica, né in altre materie. La differenza è che un errore in matematica ha un effetto ben superiore a un errore di ortografia o sintassi in un tema d'italiano. Insomma, insegnare anche il lato "etico" della matematica, e insegnare ad apprezzarlo, richiede tempo. 

Rosetta Zan, che è stata professore associato di Matematiche Complementari presso il Dipartimento di Matematica dell’Università di Pisa e ha orientato la sua ricerca nel campo della didattica, sostiene che “ora che le Indicazioni nazionali mettono esplicitamente al centro del progetto d’insegnamento le competenze, “la scuola ha l’occasione di mettere in discussione alcune pratiche che possono produrre danni notevoli, fra i quali anche il rifiuto per la nostra disciplina che molti allievi sviluppano. Credo che il maggiore ostacolo allo sviluppo delle competenze sia l’inversione dei tempi che caratterizza l’insegnamento della matematica: prima si spiega un concetto, una definizione, un teorema, dopo si illustra un esempio o un’applicazione, quindi si propongono agli allievi un certo numero di ‘problemi’ che ricalcano tale esempio o applicazione. In questo modo i problemi si riducono in realtà a esercizi, e il successo viene identificato con una risposta corretta possibilmente data in poco tempo”. 

“In realtà l’attività matematica parte dai problemi, ed è nel tentativo di risolverli che si avanzano congetture, eventualmente si dimostrano (tra l’altro a livello di comunità, e non di singolo individuo: ciò che è congetturato da un matematico può essere dimostrato da un altro anche a distanza di molto tempo), si introducono definizioni. Errore e tempo in questa dinamica non sono nemici, ma risorse incredibili”. 

D’altra parte, prosegue Zan, “non c’è costruzione di conoscenza senza un coinvolgimento attivo dell’allievo: in questo processo di costruzione, che ha bisogno di tempi lunghi, l’errore è un passaggio inevitabile. In definitiva per favorire lo sviluppo di competenze in matematica è necessario rivalutare il ruolo dei problemi, non aver paura di proporre agli allievi compiti (adeguatamente) complessi, e al tempo stesso non identificare il successo con la produzione di una risposta corretta data in poco tempo, ma valorizzare tutti i processi tipici del problem solving (comprendere il problema, esplorare, congetturare, pianificare, controllare, …). Perché questo sia possibile l’ambiente di lavoro deve essere libero dall’ossessione della valutazione, così che i nemici di sempre, errore e tempo, possano essere visti invece come risorse. È chiaro che tutto questo richiede una formazione attenta dei docenti, sia dal punto di vista della matematica che dal punto di vista della didattica” 


Qual è la situazione della matematica nelle Università (non solamente nei Corsi di Laurea in Matematica, ma in tutti gli indirizzi in cui essa ha un ruolo importante nel curriculum)? Quali i problemi, quali le situazioni positive? Qual è la situazione della ricerca matematica italiana, pura e applicata? 
Nesi lamenta che i test d’ingresso obbligatori, che avrebbero dovuto attribuire dei debiti formativi, dovevano essere seguiti da corsi di recupero. Ebbene, “con rarissime eccezioni, questo non è stato fatto. Quando è accaduto, sia pure tardivamente, come nel caso della Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali della Sapienza, si sono visti dei frutti positivi. Il primo frutto è combattere l'ipocrisia. Se circa il 40% delle studentesse e degli studenti che si vuole iscrivere in una materia scientifica ha il debito su contenuti che spesso risalgono ai primissimi anni delle superiori, che senso ha continuare ad insegnare al primo anno dell'università presupponendo un livello di entrata molto maggiore? E, ancora di più, che senso hanno libri di testo per le superiori dove sì tratta il calcolo, le derivate, gli integrali e tanto altro ancora, se poi la somma di frazioni crea difficoltà? L'Università si è adagiata colpevolmente sull'idea che non fosse un problema proprio. Secondo me il cuore del problema è che l'Università italiana, specie in ambiti dove è rimasta all'avanguardia, dovrebbe farsi carico dei problemi della scuola superiore, e reclutare in lungo ed in largo. Più accoglienza e meno respingimenti alle frontiere della conoscenza." 

Caporaso precisa che nella gran parte degli atenei italiani la didattica della matematica in aree non scientifiche è gestita autonomamente, e quindi con competenza limitata e scadente investimento di risorse. Questo comporta un doppio danno: alla qualità dell'insegnamento e a quella della ricerca. 

In un ateneo che vuole sostenere la ricerca di base, continua Lucia Caporaso, la didattica in matematica di tutti i corsi di laurea dovrebbe essere gestita in stretta collaborazione con i matematici professionisti che operano al suo interno, incardinati in una struttura di ricerca (i dipartimenti di matematica, per intenderci). Da un'organizzazione di questo tipo ne guadagnerebbe molto sia la preparazione di base degli studenti (ingegneri, architetti...), che la crescita scientifica dei dipartimenti di matematica, che impegnandosi sulla didattica ne guadagnerebbero in termini di risorse. Ciò avviene, ad esempio, in Nord Europa e negli Stati Uniti. In Italia pochi atenei (tra quelli "prestigiosi") hanno realizzato un modello simile, in seguito al nuovo assetto universitario imposto dalla legge 240/2010. Questo è un segnale positivo, da contrapporre alla realtà di altri atenei che, rimanendo indietro sull'attenzione verso la ricerca, rischiano di veder diminuire le assegnazioni ministeriali di risorse; impoverimento finanziario che accompagna quello scientifico e didattico. 

Ciliberto sostiene che la matematica italiana, sia quella teorica che applicata e industriale, ha un ruolo di grande rilievo nella comunità matematica mondiale. “Siamo nel gruppo di testa delle nazioni matematicamente più avanzate. I matematici italiani sono costantemente invitati a parlare in prestigiosi convegni internazionali e sono pubblicati sulle riviste di maggiore impatto. La fuga dei cervelli, pur nella sua drammaticità, testimonia che i nostri giovani laureati in matematica sono tanto ben preparati da trovare posto nelle migliori istituzioni scientifiche e di ricerca straniera. Quindi non esiterei a definire i corsi di laurea in matematica in generale un’eccellenza nazionale. Purtroppo è vero che la matematica ha invece subito un arretramento di ore ad essa dedicate in altri corsi di laurea, tipicamente in quelli in ingegneria, dove viene ingiustificatamente compressa”. 

Natalini, sulla base della sua esperienza, afferma che l'Italia ha un'ottima scuola, collegata ai filoni di punta della ricerca mondiale. Le problematiche principali sono tre: a) mancanza di reclutamento e di promozione, che porta molti validi ricercatori ad andare (con successo) all'estero. Ciò alla lunga rischia di indebolire la ricerca italiana (sia perché risulta meno attrattiva per studenti mediamente motivati, sia per la mancanza di massa critica in certi settori). Siamo anche poco attrattivi per studenti e ricercatori stranieri. b) La matematica non è menzionata nei Piani Nazionali della ricerca, e, a differenza degli altri paesi, il supporto nazionale non compensa la mancanza di riferimenti espliciti alla matematica in Horizon 2020 [la rete europea per la ricerca e l’innovazione]. Questo rende difficile il finanziamento della ricerca di base. c) Per la matematica applicata, la carente sensibilità delle industrie porta ad uno scarso sviluppo delle ricerche direttamente connesse alle applicazioni ed ad una visione spesso settoriale e accademica della matematica. A ridurre questa scarsa attenzione mira lo Sportello Matematico per l'Industria Italiana, ma è ancora troppo poco. 
Per concludere, parlando in generale, le competenze matematiche specialistiche sono apprezzate dalle imprese italiane? Ci sono opportunità lavorative per chi le possiede? 
Lucchetti esprime “l'impressione molto forte che chi ha una solida preparazione matematica non abbia grandi difficoltà a trovare lavoro, da qualunque laurea arrivi. Esperienza illuminante è quella dei laureati in Ingegneria Matematica, che probabilmente anche perché si collocano geograficamente in un'area privilegiata, che trovano lavoro con estrema facilità. Anzi, un numero significativo di loro lavora già durante lo svolgimento della tesi”. 

Per Natalini, “In realtà, quando alla fine si riesce ad entrare in contatto con delle industrie, e si è preparati a farlo, si scopre che c'è tanto bisogno di matematica e anche una scarsa conoscenza delle sue potenzialità. Questo non influenza tanto il reclutamento dei nostri laureati magistrali (il tasso di occupazione a 5 anni è del 95%, e quel 5% è principalmente è prevalentemente composto da persone che vorrebbero ancora provare a fare ricerca), ma potrebbe espandere il bacino degli studenti interessati. Una solida conoscenza dell'ottimizzazione vincolata, della gestione dei dati avanzata, della modellistica, sono apprezzate dalle aziende, che però in media non pensano di potersi permettere di investire in ricerca. Insomma, le competenze ci sono già, sono di interesse, ma manca la comprensione delle loro potenzialità nelle aziende e anche manca, nel laureato medio, la capacità di comunicare efficacemente”. 

Secondo Ciliberto, le qualità dei migliori laureati in matematica sono apprezzate non solo nel comparto scuola (dove sono indispensabili) ma anche in attività più specificamente produttive: “I matematici sono ben preparati, flessibili, capaci di risolvere problemi anche apparentemente lontani dalle loro specifiche competenze, grazie alla capacità di razionalizzare e opportunamente modellizzare le situazioni loro proposte. Da una recente indagine effettuata in Gran Bretagna, è emerso che ben il 16% del PIL di quel paese da attribuirsi in forma diretta o indiretta all'apporto scientifico e lavorativo dei matematici. In Italia non abbiamo dati simili, ma mi azzardo a ritenere che, pur in una situazione industriale probabilmente meno florida e intraprendente come quella d'oltre Manica, i dati sarebbero paragonabili. Questo dovrebbe spingere politici e detentori del potere economico ad investire di più e meglio nella matematica”. 

Terracini considera un paradosso che le competenze specifiche che dà un corso di laurea magistrale in matematica sono del tutto inutili alle imprese (con pochissime eccezioni di centri di ricerca avanzata) e “tuttavia i laureati magistrali in matematica sono quelli che hanno la più alta occupabilità in Italia, secondi solo a quelli in informatica (che però sono molti di meno). Essi hanno opportunità lavorative molto diversificate (a Torino avevamo fatto dei Ritratti di matematici al lavoro) perché sono svegli e affidabili". 

Nesi, un po' provocatoriamente, chiosa che paradossalmente l'Italia crea ottimi talenti che regala alle nazioni "concorrenti" semplicemente perché sono troppo bravi per le condizioni di lavoro (if any) offerte in Italia. 



Si ringraziano per la disponibilità: 

Lucia Caporaso, Direttore del dipartimento di matematica e fisica di Roma 3; 
Ciro Ciliberto, presidente dell’Unione Matematica Italiana; 
Roberto Lucchetti, professore di Analisi al Politecnico di Milano; 
Roberto Natalini, Direttore dell'Istituto per le Applicazioni del Calcolo "M. Picone", CNR, Roma;
Vincenzo Nesi, Preside della Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali a “La Sapienza" di Roma; 
Susanna Terracini, docente del Dipartimento di Matematica "Giuseppe Peano" dell’Università di Torino; 
Rosetta Zan, ex-presidente della CIIM, professore associato in Matematiche Complementari all'Università di Pisa ed esperta di didattica della matematica; 
Antonio Salmeri, fondatore e direttore di Euclide, Giornale di matematica per i giovani, che ha raccolto e coordinato le risposte della sua redazione; 
Gli insegnanti ed esperti: Anita Biagini – Liceo “B. Russell” di Roma; Giuseppe Rocco Casale – Liceo “B. Russell” di Roma; Assunta Chiummariello – IISS “C. Darwin” di Roma; Diana Cipressi – Scuola Sec. “Mezzanotte-Ortiz” di Chieti; Carla Degli Esposti – già 1° CTP “Nelson Mandela” di Roma; Daniela Favale – Scuola Sec. di 1° Gr. “Ugo Foscolo” di Torino; Lucia Fellicò – già Liceo “De Sanctis” di Roma; Antonella Ferri – Scuola Sec. di 1° Gr. di Gramolazzo, LU; Anna Maria Gennai – Liceo Classico “Andrea da Pontedera” di Pontedera, PI; Adriana Lanza – già Liceo “Cavour” di Roma; Lorenzo Meneghini – Liceo “F. Corradini” di Thiene, VI; Annarita Monaco – IC Via San Biagio Platani, Roma; Giampiero Negri; Patrizia Plini – Liceo “B. Russell” di Roma; Rita Risdonne – IISS “C. Darwin” di Roma; Giovanni Salmeri, Responsabile tecnico di Euclide; Paola Santucci – Liceo “B. Russell” di Roma; Franca Tortorella – Liceo Sc. “E. Siciliano” di Bisignano, CS. 



Questo articolo ė comparso in forma ridotta con il titolo Come sta la matematica italiana? su "Il Tascabile", la bella rivista online a vocazione enciclopedica della Fondazione Treccani. Come spesso succede, le esigenze editoriali del periodico hanno consigliato numerosi tagli, riducendo di molto il materiale preparato, stilato esaminando i quasi 30 questionari di risposta pervenuti allo scrivente. Tra le reazioni ricevute, in molti hanno espresso l’invito ad ampliare l’articolo tenendo conto di ulteriori pareri, per avere un panorama più completo e stimolante. Spero che sia stato di vostro interesse.

venerdì 9 giugno 2017

Chimica e teoria dei grafi: una introduzione

Un po’ di teoria

Sin dagli inizi, i chimici hanno usato diagrammi per agevolare la comprensione della struttura delle molecole. Ad esempio, la molecola del metano si può rappresentare in questo modo (fig. 1), da cui risulta che l’atomo di carbonio è legato a quattro atomi di idrogeno e che nessun atomo di idrogeno è legato con altri atomi di idrogeno.


Altri diagrammi possono fornire maggiormente il senso che la molecola del metano è tridimensionale, e danno anche informazioni più accurate, perché le etichette ci dicono ad esempio la lunghezza del legame o gli angoli tra i legami. Il disegno di fig. 2 è fatto in modo da mostrare la natura tetraedrica della molecola di metano, cosa difficile da vedere nel precedente diagramma.


Questo tipo di diagrammi si può considerare all’interno della struttura dei diagrammi geometrici chiamati grafi. La teoria dei grafi riguarda lo studio delle proprietà dei diagrammi che utilizzano punti e segmenti lineari. I punti sono chiamati vertici o nodi, collegati fra loro da archi o spigoli. I vertici sono in genere trattati come oggetti senza caratteristiche e indivisibili.

Un arco che ha due estremi coincidenti si dice cappio, mentre più archi che connettono gli stessi due estremi costituiscono un multiarco. Un grafo sprovvisto di cappi e di multiarchi si dice grafo semplice. In caso contrario si parla di multigrafo (fig. 3).

Un sottografo G’ è un grafo composto da un sottoinsieme dei nodi e degli archi di un grafo G più grande.


Un percorso di lunghezza n in G è dato da una sequenza di vertici v0, v1,..., vn (non necessariamente tutti distinti) e da una sequenza di archi che li collegano. I vertici v0 e vn si dicono estremi del percorso. Un percorso con gli archi a due a due distinti tra loro prende il nome di cammino. Un cammino chiuso (v0 = vn) si chiama circuito o ciclo. Un cammino in un grafo è detto hamiltoniano se esso tocca tutti i vertici del grafo una e una sola volta. Un cammino viene invece detto euleriano quando tocca tutti gli archi del multigrafo una e una volta sola.

Dato un grafo, due vertici che appartengono ad esso, v e u si dicono "connessi" se esiste un cammino con estremi v e u. Se tale cammino non esiste, v e u sono detti "sconnessi".

Quando questi diagrammi sono usati dai chimici, essi sono solitamente chiamati grafi molecolari o formule di struttura. Una formula di struttura del metano è rappresentata in figura 4. I vertici rappresentano gli atomi, etichettati in modo da indicare di che tipo sono, e gli archi rappresentano i legami formati tra gli atomi. In questo caso il diagramma non fornisce alcuna informazione metrica, e gli angoli tra i legami e la loro lunghezza non fanno parte dell’informazione fornita. Cosī, la teoria dei grafi è un tipo di geometria che non utilizza direttamente informazioni metriche.


Potrebbe sembrare che la figura 4 non rappresenti un gran progresso rispetto alla 1. In realtà i grafi permettono considerazioni e forniscono informazioni assai più vaste di quanto appaia a prima vista. Utilizzando la teoria matematica dei grafi si aprono molte nuove prospettive sulla chimica delle molecole, anche se le rappresentiamo attraverso diagrammi sul piano.

Guardiamo adesso la figura 5.


I chimici sanno che il grafo di figura 5 (un grafo a stella) non può essere il diagramma di struttura di un idrocarburo: il carbonio non può avere cinque legami. Ciò che regola questo tipo di diagrammi dal punto di vista di un chimico è che diversi tipi di atomi possono formare solo determinati tipi di legami con altri atomi. In pratica la possibilità di costruire grafi rappresentanti la struttura delle molecole è limitata dal concetto chimico di valenza. Gli esperti di teoria dei grafi rendono l’idea di legame tra atomi con il concetto di grado o valenza di un vertice di un grafo. Consideriamo ora la formula di struttura dell’etilene, in figura 6.


Consideriamo ora la figura 7:


Questa è la versione secondo la teoria dei grafi della figura 5. Notate che, se si conta il numero degli archi per ogni vertice, ci sono due vertici in cui concorrono quattro archi e due che ne hanno uno solo. Se sommiamo questi numeri, otteniamo 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 1 = 12, che è il doppio del numero degli archi. Ciò è un fatto generale, dato che, se ogni singolo arco ha esattamente due estremità, la somma del numero di archi concorrenti in ciascun vertice darà sempre la metà del numero dei vertici. 

Consideriamo il grafo di figura 8. Esso ha 6 vertici e 18 archi. Tuttavia, alcuni di questi archi uniscono un vertice a se stesso, formando un cappio, e per alcuni vertici c’è più di una coppia di spigoli che collega la stessa coppia di vertici. Quando il grafo presenta tali caratteristiche, con vertici uniti da più archi, essi sono detti a archi multipli.


In matematica c’è la “libertà” di definire i termini in modo tale da cogliere importanti idee applicative, come ad esempio la valenza in chimica. Si è così tentati di definire la valenza o grado dei vertici nella figura 8 come il numero di archi che concorrono in un vertice. Tuttavia, quando lo si fa, non è vero che la somma delle valenze dei vertici del grafo è uguale al doppio della somma del numero degli archi. I responsabili sono i cappi, che danno non uno, ma due estremità a un vertice. Tenendo ciò in considerazione, useremo la seguente definizione di valenza o grado di un vertice:

Dato un vertice v di un grafo G, il grado di un vertice è il numero di archi che concorrono in quel vertice.

Ciò significa che nella figura 8 abbiamo le seguenti valenze per i vertici:

valenza (v) = 4
valenza (w) = 6
valenza (x) = 6
valenza (y) = 5
valenza (u) = 6
valenza (z) = 9

Gli anelli blu contribuiscono per 2 alla valenza dei vertici in un cui concorrono, gli archi rossi (quelli multipli) contribuiscono per 1, come gli archi grigi. Notiamo che un vertice ha valenza dispari, mentre altri hanno valenza pari.

Se sommiamo i numeri 4 + 6 + 6 + 5 + 6 + 9 otteniamo 36, che è il doppio del numero degli archi, che di conseguenza sono 18. Possiamo quindi enunciare il seguente teorema:

Teorema:
Il grado o somma delle valenze di un grafo risulta uguale al doppio del numero degli archi.

Corollario:
Il numero di vertici di un grafo di valenza dispari è pari.

Dimostrazione: La somma di un numero dispari di numeri dispari è dispari, così per avere una somma pari per le valenze, bisogna avere un numero pari di vertici con valenza dispari.

La teoria dei grafi in chimica

L’importanza della teoria dei grafi in chimica incominciò a diventare evidente nel XIX secolo, grazie all’opera dei due matematici britannici, Arthur Cayley (1821-1895) e James Joseph Sylvester (1814 -1897).

Soprattutto il lavoro di Cayley fu pionieristico per l’uso di ciò che oggi chiamiamo grafi nella chimica, per cui dovette coniare anche una terminologia specifica. Egli utilizzò i termini plerogrammi e kenogrammi per i due tipi di grafi che si possono considerare quando si studiano gli idrocarburi con molecole lineari o ad albero (senza anelli). Il plerogramma mostra tutti gli atomi presenti, compresi gli idrogeni, mentre il kenogramma mostra solamente gli atomi di carbonio.


Nella figura 9 sono rappresentati il plerogramma (Pl1) e il kenogramma (Ke1) nel caso del 2,2,3,5-tetrametilesano: il kenogramma ha n e il plerogramma 3n + 2 vertici. Qui n = 10.

Una delle prime scoperte dei chimici fu che le molecole con lo stesso numero di atomi di carbonio e idrogeno (ad esempio) potevano presentare proprietà fisiche e chimiche diverse. Le molecole con le stesse proprietà chimiche, ma diverse proprietà fisiche sono dette isomeri l’una dell’altra. Quando rappresentiamo le molecole con strutture a grafo, gli isomeri danno luogo a strutture diverse. La teoria dei grafi fa parte della geometria combinatoria, nel senso che essa non si occupa delle proprietà metriche (area, angoli, distanze, ecc.), ma delle proprietá strutturali. Eppure, dai grafi si possono ottenere quantità di informazioni sorprendentemente grandi osservando le loro proprietá. Prendiamone in esame alcune. Consideriamo il grafo nella figura 10. Quali proprietà possiede?


I teorici dei grafi hanno coniato termini per descrivere come ci si muove su di essi da un vertice all’altro lungo gli archi. Per esempio, ci sono diversi percorsi dal vertice e al vertice i mostrato in figura, come ecbfglhi, ecflghi, oppure ecbglhi. Questi percorsi hanno lunghezze rispettivamente 7, 6 e 6, poiché tale è il numero degli archi attraversati. Ci sono tuttavia percorsi più corti da e a i, che utilizzano un minor numero di archi. Sia ecbghi sia ecflhi hanno lunghezza 5. Possiamo definire la distanza tra due vertici in un grafo connesso come la lunghezza del percorso più breve tra di essi. La distanza tra i vertici e e k è 4, mentre quella tra e e g è 3, essendoci due possibilità per percorrere questa distanza più breve: ecfg e ecbg. Si noti che questo diagramma può essere interpretato come quello di un idrocarburo, in quanto tutti i suoi vertici hanno valenza 1 oppure 4.

Alcuni grafi connessi hanno solo un percorso tra ogni coppia di vertici. Tali grafi non possono avere circuiti (cbgfc e fglf sono esempi di circuiti nel grafo sopra rappresentato). Dati due vertici in un circuito, ci sono due percorsi che li uniscono lungo le due parti che collegano i vertici. Un grafo senza circuiti si definisce ad albero (fig. 11), e gli alberi hanno molte utili proprietà, tra le quali il fatto che, tranne l’albero con un solo vertice, essi hanno almeno due vertici monovalenti. Un’altra elegante proprietà di un albero è questa:


Teorema 1:
Se T è un albero in cui il numero di vertici ė n, allora il numero di archi di T è n - 1.

Forse ancor più degno di nota è che anche l’inverso del teorema è vero:

Teorema 2:
Se T è un grafo connesso che possiede n vertici e n - 1 archi, allora il grafo T deve essere ad albero.

Uno dei risultati di Cayley fu mostrare che i grafi ad albero mostrano un ruolo particolarmente importante nella comprensione dei problemi di chimica matematica. Talvolta si conosce per ragioni chimiche il numero di atomi di idrogeno e carbonio che fanno parte di una serie di molecole. Ad esempio, gli alcani sono una famiglia di idrocarburi in cui, se ci sono n atomi di carbonio, ci sono 2n + 2 atomi di idrogeno, con la formula generale:

CnH2n+2

Che forma avranno i grafi di queste molecole? Utilizzando un po' di teoria dei grafi si può osservare che queste molecole devono avere una struttura ad albero.

Poiché le molecole chimiche sono connesse, ciò vuol dire che un alcano ha un totale di n (carbonio) + 2n + 2 (idrogeno) atomi. Quindi nel grafo di una tale molecola si hanno 3n + 2 vertici. Tuttavia, il carbonio è tetravalente, mentre l’idrogeno è monovalente. Per questo motivo ne risulta che 4n (4 volte il numero degli atomi di carbonio) + 1(2n +2) (1 volta il numero degli atomi di idrogeno) = 4n + 2n +2 = 2(3n+1), che è due volte il numero dei legami nella molecola. Così il numero di archi (legami) nel grafo della molecola è 3n +1. Dato che il numero dei vertici 3n + 2 supera di uno il numero degli archi, 3n +1, possiamo concludere per il teorema 2 che i diagrammi per gli alcani sono sempre ad albero.

Possiamo considerare i grafi per comprendere meglio un aspetto utile si chimici. Dato un grafo connesso, dove sono i vertici che sono “al centro” o “in mezzo” al grafo? Domande di questo tipo furono poste dal matematico francese Camille Jordan (1838 - 1922).

Il primo approccio per spiegare che cosa s'intende per “centro” di un grafo è utilizzare queste definizioni:

L’eccentricità di un vertice n è la massima distanza di n da qualsiasi altro vertice.

Un vertice n di un grafo (connesso) è detto centrale se l’eccentricità di n è la più piccola possibile.

Ricordiamo che la distanza tra due vertici è la lunghezza del cammino più breve tra di essi. Nella figura 10, per esempio, i vertici d, e, i e j hanno eccentricità 5, i vertici a, c e h hanno eccentricità 4 e i vertici b, f, g e l hanno eccentricità 3. Sono questi ultimi i vertici centrali.

Il centro C di un grafo connesso connesso G consiste di tutti i suoi vertici centrali assieme agli archi che li uniscono. Talvolta si dice che il centro di un grafo connesso è il sottografo di G “indotto” o generato” dai vertici centrali. Nella figura 10 il centro è costituito dai 4 vertici b, f, g e l e dai 5 archi bf, bg, fl, gl, e fg.

Bisogna osservare che considerazioni del genere talvolta non sono di grande utilità, poiché ogni vertice di un grafo può essere centrale e perciò il centro del grafo è il grafo stesso. Un esempio è il cubo tridimensionale (fig. 12, in due rappresentazioni isomorfiche), in cui tutti i vertici hanno eccentricità 3.


Ad ogni modo, ciò che ci interessa è che per grafi ad albero con almeno 3 vertici non tutti i vertici possono essere centrali.

Teorema:
Se T è un grafo ad albero, allora il centro di T è o un singolo vertice o una coppia di vertici con l’arco che li unisce.

Nella figura 13 si vede l’esempio di un grafo ad albero (che rappresenta la molecola di un idrocarburo: quale?) il cui centro è costituito dall’arco disegnato in rosso con i vertici che unisce.


Un’altra proprietà notevole dei grafi ad albero e dei loro centri è che se si ha un grafo T con almeno 3 vertici e si rimuovono i vertici monovalenti, il grafo ad albero che si ottiene ha lo stesso centro di quello originale. Ad esempio, il grafo di figura 14 conserva il suo centro (il vertice in rosso) anche dopo che sono stati “potati” i vertici monovalenti.


Quando Cayley iniziò a occuparsi degli isomeri degli idrocarburi ad albero, dovette decidere quale modello di grafo adottare per la molecola. Gli idrocarburi con molecola ad albero hanno vertici tetravalenti e monovalenti e abbiamo appena visto che il centro di tale molecola è lo stesso per il grafo in cui sono tolti i vertici monovalenti. Cayley doveva scegliere tra il plerogramma, con inclusi i vertici monovalenti, e il kenogramma, che invece rappresenta solo gli atomi di carbonio. Il butano C4H10 è costituito da due isomeri, l’ n-butano e l’isobutano, i cui kerogrammi sono rappresentati nella figura 15.


Cui corrispondono alle seguenti formule di struttura:


L’indice di Wiener

Molto tempo dopo che Cayley, Sylvester e Jordan avevano mostrato che le loro idee sulla teoria dei grafi non si applicavano al solo campo matematico, un chimico, Harry Wiener, diede nuovo impulso alla teoria dei grafi in chimica creando, nel 1947, un invariante di un grafo che prende il nome Indice di Wiener. Si tratta del più antico indice topologico legato alla struttura molecolare. Dopo il suo successo, molti altri indici topologici di grafi chimici, basati sul dato della matrice grafica del grafo, sono stati sviluppati.

La domanda per i chimici e i matematici interessati alla chimica è se l’informazione riguardo al grafo di una molecola consente di “predire”, anche solo approssimativamente, le proprietà chimiche o fisiche della stessa. La risposta ottenuta dalle evidenze sperimentali è che ciò è possibile.
L’idea di Wiener era di guardare alle distanze tra i vertici del grafo che rappresenta la molecola. Se la molecola corrisponde a un albero, quale grafo ne rappresenta meglio le proprietà? Wiener scelse originariamente per il suo Indice il grafo degli idrocarburi che indica solo gli atomi di carbonio. Ad esempio, calcoliamo l’Indice di Wiener per i due grafi rappresentati in figura 15. La molecola dell’n-butano possiede tre coppie di vertici a distanza 1 l’uno dall’altro. due coppie a distanza 2 e 1 coppia a distanza 3, così il suo Indice vale:

3 x 1 + 2 x 2 + 1 x 3 = 10

La molecola dell’isobutano possiede 3 coppie di vertici a distanza 1 l’uno dall’altro (i le tre coppie vertice esterno-centro) e 3 coppie a distanza 2 (le coppie da vertice esterno a vertice esterno). Pertanto il suo Indice vale:

3 x 1 + 3 x 2 = 9

Questi valori sono esempi di formule di casi speciali dell’Indice di Wiener. Esso vale (n3 - n)/6 per n vertici in linea come nel caso dell’n-butano e (n - 1)2 per n vertici disposti a stella come nel caso dell’isobutano. Così, anche se queste due molecole hanno la stessa formula chimica e lo stesso numero di legami carbonio-carbonio e carbonio-idrogeno, le loro strutture diverse originano due Indici di Wiener diversi.

Wiener dimostrò che i valori del suo indice sono legati da vicino ai punti di ebollizione delle molecole degli alcani. Opere più recenti sulle relazioni quantitative tra struttura e attività hanno evidenziato che l’indice è correlato con altre quantità, come i parametri del punto critico, la densità, la tensione superficiale e la viscosità della fase liquida, e la superficie di van der Waals della molecola.

Mentre l’indice di Wiener per grafi non isomorfi è diverso, ci sono anche casi in cui grafi non isomorfi hanno lo stesso indice. Ciò non è sorprendente. I matematici da tanto tempo stanno tentando di trovare un modo semplice di dire che due grafi sono isomorfi oppure no. Nessun indice di tale tipo è finora stato trovato né sembra probabile che lo sia. Infatti, il “Problema dell’isomorfismo dei grafi”, vale a dire sapere se e in quanto tempo si può dimostrare che due grafici con n vertici sono isomorfi, è in computer science una questione tuttora irrisolta.

Riferimento Principale:

Joseph Malkevitch, Mathematics and Chemistry: Partners in Understanding Our World, AMS Feature Column, 2017